DODECAEDRO: O QUINTO ELEMENTO

De acordo com muitos grandes pensadores da Antiguidade, que eram em sua maioria filósofos e matemáticos, não havia dúvida que a própria ideia de Cosmos existisse concretamente no Hyperurânio, de modo que Pitágoras e Platão chegaram à conclusão de que a matéria física tinha, em última instância, natureza geométrica, e que em todas as coisas “Deus geometriza“.

Platão descreve, no Timeu, o trabalho que plasma um cosmo composto por quatro elementos simbolizados por quatro poliedros, respectivamente: tetraedro (fogo), octaedro (ar), cubo (terra) e icosaedro (água). Mas “ainda faltava uma construção, a quinta, e o deus usou-a para o Tudo“. Trata-se do dodecaedro e Plutarco nos ajuda a entender por qual motivo o símbolo do universo deve ser esse e não uma esfera.

O motivo principal, embora não o único, é que este sólido consiste em doze faces (pentágonos regulares) correspondentes aos 12 meses do ano. Doze é também o perímetro do triângulo egípcio, com catetos 3 e 4, e hipotenusa 5. A importância simbólica deste triângulo retângulo encontra-se no fato que, enquanto para os números lineares a soma de 1+2=3 expressa a manifestação (epifania) da Divindade em campo unidimensional, no caso do triângulo egípcio permite que ela se manifeste em duas dimensões. De fato: 32+42=52. Note-se que, em ambos os casos, os três números são consecutivos. Não menos importante é o fato que a superfície do dodecaedro é dividida em 360 triângulos escalenos e, consequentemente, o sólido pode ser decomposto em 360 tetraedros onde 360 é o número de dias do ano egípcio e caldeu. Entre outras coisas, o dodecaedro pode ser considerado formado por 12 pirâmides com base pentagonal -correspondentes às suas 12 faces- e, portanto, posto em estreita relação com os números sólidos piramidais.

Sendo que cada uma das faces contém um pentagrama inscrito, como escreveu Arturo Reghini: “pode-se dizer que tanto o dodecaedro como cada uma de suas faces estão marcados com a mesma harmonia; a harmonia do pentagrama coincide com a harmonia do dodecaedro”. De acordo com o ilustre esoterista italiano, “Assim como o pentagrama, que contém infinitos pentagramas, o dodecaedro contém um número infinito de dodecaedros”.

Efetivamente, este poliedro notável é inscrito numa esfera e, em seu interior, há uma segunda esfera tangente às faces do dodecaedro; uma terceira esfera, intermédia entre as duas anteriores, vê as arestas do sólido tangentes à sua superfície. Segue-se que, uma vez que todos os sólidos Platônicos são inscrito numa esfera, eles são praticamente contidos no interior do dodecaedro um número infinito de vezes; portanto, os padrões repetitivos dos sólidos Platônicos que se encaixam uns nos outros são objectivamente fractais.

Euclides, em seu livro XIII dos Elementos, explica como construir um dodecaedro a partir de um cubo. É obtido um polítopo com 12 faces, 30 arestas e 20 vértices; lembramos que o número de faces do dodecaedro é o mesmo que o número das arestas do hexaedro (cubo) e do octaedro.

Outra propriedade notável do dodecaedro aparece quando são traçados quatro planos paralelos (x, y, z e t) dois dos quais coincidentes com os pentágonos das bases (x e t) e os outros dois (y e z) que passam através dos outros dois pentágonos identificados pelos cinco vértices vizinhos às bases. Desta forma obtemos quatro segmentos a, b, c, d, cada um dos quais é razão áurea do anterior.

Reghini  mostra como a secção de ouro da altura h do dodecaedro é igual ao lado da estrela decagonal s inscrita na face pentagonal do dodecaedro e que o raio r da circunferência circunscrita a esta face é a parte de ouro do lado s da estrela decagonal inscrita; enfim, o lado da decágono inscrito é razão áurea do raio r. Destarte, para uma propriedade das proporções, já conhecida na Antiguidade, esses elementos formam a famosa Proporção da Babilônia:

h : s = r : l

ou seja, o segundo termo s é a média aritmética dos valores extremos, enquanto que o terceiro termo r representa a sua média harmônica.

Os centros das faces do dodecaedro são, por sua vez, os vértices de um icosaedro inscrito e, por conseguinte, os vértices de três retângulos douradas que se cruzam em planos perpendiculares entre eles. O hexaedro inscrito no dodecaedro tem como aresta a diagonal da face pentagonal e, portanto, a aresta do dodecaedro é a secção de ouro da aresta do cubo.

Em tudo, no dodecaedro, a seção áurea ocorre 120 vezes e o próprio Platão escreve no Fédon: “O dodecaedro é o poliedro que mais se aproxima à perfeição da superfície esférica e, além disso, contém a verdade mística da seção áurea que expressa, em termos matemáticos, a divindade de forma esférica“.

As razões pelas quais Platão apontava o dodecaedro como sendo o símbolo do universo, muito válidas no seu tempo, já não seriam mais tão significativas à luz do conhecimento moderno sobre a estrutura da matéria, se não fosse para a conjectura de um grupo de astrofísicos franceses e norte-americanos que, analisando dados recentes da radiação cósmica de fundo, chegaram à conclusão que a forma do Cosmo poderia ser a dum dodecaedro, embora no contexto de uma geometria esférica.

Esta informação valiosa, que liga o dodecaedro ao Universo, é um estímulo poderoso para desenvolver a análise das principais constantes adimensionais usando, como instrumento de investigação, os valores de geometria do dodecaedro.

(...) Em conclusão, embora não tenha sido possível, pelo menos por enquanto, encontrar um algoritmo capaz de gerar relações entre diferentes grandezas físicas, unificando destarte as quatro forças da natureza, foi demonstrado que o dodecaedro contém as constantes adimensionais mais importantes da Física. Nada nos impede de pensar que o Demiurgo as tenha escondido neste poliedro para nos sugerir que o Cosmos não é fruto do acaso, mas de um projeto inteligente, onde o dodecaedro, com sua perfeição geométrica, é a prova tangível desse projeto.

 

Texto: https://principedaliberdade.wordpress.com/